Stern-Dreieck-Umwandlung

Mit Reihen- und Parallelregeln kommst du bei den meisten Widerstandsnetzen ans Ziel. Doch irgendwann stößt du auf eine Schaltung, in der sich nichts mehr zusammenfassen lässt: Kein Widerstandspaar liegt sauber in Reihe, keines sauber parallel. Das klassische Beispiel ist eine Brückenschaltung mit einem Widerstand in der Brückendiagonale. Statt gleich ein Gleichungssystem aufzustellen, kannst du mit einem Kniff das Netz so umbauen, dass die gewohnten Regeln wieder greifen: Du ersetzt drei Widerstände, die ein Dreieck bilden, durch drei Widerstände in Sternform – oder umgekehrt.

Stern und Dreieck

Beide Anordnungen verbinden drei Anschlusspunkte 1, 2 und 3:

• Im Stern (auch Y- oder T-Schaltung) führt von jedem Anschluss ein Widerstand zu einem gemeinsamen inneren Knoten, dem Sternpunkt. Die Widerstände heißen hier R₁, R₂, R₃ – nach dem Anschluss, an dem sie hängen.
• Im Dreieck (auch Δ- oder π-Schaltung) liegt zwischen je zwei Anschlüssen ein Widerstand. Sie heißen R₁₂, R₂₃, R₃₁ – nach den beiden Anschlüssen, die sie verbinden.

Die beiden Schaltungen sind gleichwertig, wenn du zwischen jedem Paar von Anschlüssen denselben Widerstand misst – auch dann, wenn der dritte Anschluss irgendwo mit dem Rest der Schaltung verbunden ist. Von außen merkt die übrige Schaltung dann keinen Unterschied. Der innere Sternpunkt verschwindet dabei, beziehungsweise entsteht neu.

Dreieck in Stern umwandeln

Jeder Sternwiderstand ergibt sich aus den beiden Dreieckswiderständen, die an „seinem“ Anschluss anliegen, geteilt durch die Summe aller drei:

Der Nenner ist für alle drei Formeln gleich – du rechnest ihn einmal aus. Jeder Sternwiderstand ist kleiner als jeder der beiden Dreieckswiderstände in seinem Zähler.

Stern in Dreieck umwandeln

In die andere Richtung bildest du zuerst die Summe der drei paarweisen Produkte der Sternwiderstände. Jeder Dreieckswiderstand ist diese Summe, geteilt durch den Sternwiderstand am gegenüberliegenden Anschluss – also an dem Anschluss, den der Dreieckswiderstand nicht berührt:

Eine gleichwertige Schreibweise, die sich leichter merken lässt: R₁₂ = R₁ + R₂ + R₁ · R₂ / R₃. Die beiden Sternwiderstände zwischen 1 und 2 werden addiert, plus ein Korrekturglied.

Sonderfall: drei gleiche Widerstände

Sind alle drei Widerstände gleich, werden die Formeln trivial. Aus einem Dreieck mit dreimal R_Δ wird ein Stern mit dreimal

Drei 300-Ω-Widerstände im Dreieck verhalten sich also wie drei 100-Ω-Widerstände im Stern. Plausibel ist das, wenn du zwischen zwei Anschlüssen nachmisst: Im Dreieck liegen 300 Ω parallel zu 600 Ω, das ergibt 200 Ω. Im Stern liegen zwei 100-Ω-Widerstände in Reihe – ebenfalls 200 Ω.

Den Faktor 3 kennst du vielleicht aus dem Drehstrom. Dort geht es aber um etwas anderes: Beim Stern-Dreieck-Anlauf eines Motors werden dieselben Wicklungen erst im Stern und dann im Dreieck angeschlossen. Die Schaltungen sind dann gerade nicht gleichwertig – im Stern liegt an jeder Wicklung nur die um den Faktor √3 kleinere Spannung, und der Motor nimmt nur ein Drittel der Leistung auf. Das ist der Zweck des Anlaufs.

Anwendung: die unabgeglichene Brücke

Eine Brücke aus fünf Widerständen hängt an 18 V. Oben, zwischen dem oberen Knoten und dem linken Knoten, sitzen 20 Ω, zwischen oberem und rechtem Knoten 30 Ω. Die Brückendiagonale zwischen linkem und rechtem Knoten hat 50 Ω. Nach unten führen links 14 Ω, rechts 9 Ω. Gesucht sind der Gesamtstrom und der Strom durch die Diagonale.

Die Brücke ist nicht abgeglichen (20 / 14 ≠ 30 / 9), durch die 50 Ω fließt also Strom, und kein Widerstand lässt sich mit einem anderen zusammenfassen. Die drei oberen Widerstände bilden aber ein Dreieck zwischen oberem, linkem und rechtem Knoten. Die Summe ist 20 + 30 + 50 = 100 Ω, und die Sternwiderstände sind

• am oberen Knoten: 20 · 30 / 100 = 6 Ω,
• am linken Knoten: 20 · 50 / 100 = 10 Ω,
• am rechten Knoten: 30 · 50 / 100 = 15 Ω.

Jetzt ist die Schaltung eine gewöhnliche gemischte Schaltung: Vom oberen Knoten führen 6 Ω zum neuen Sternpunkt S. Von dort gehen zwei Zweige nach unten, links 10 Ω + 14 Ω = 24 Ω und rechts 15 Ω + 9 Ω = 24 Ω. Parallel ergeben sie 12 Ω, mit den 6 Ω also 18 Ω Gesamtwiderstand.

Der Gesamtstrom ist 18 V / 18 Ω = 1 A. Weil beide Zweige gleich groß sind, fließen durch jeden 0,5 A. Damit kennst du die Spannungen an den unteren Widerständen, und die gehören zur Originalschaltung – die 14 Ω und 9 Ω wurden ja nicht umgewandelt:

• linker Knoten: 0,5 A · 14 Ω = 7 V über Masse,
• rechter Knoten: 0,5 A · 9 Ω = 4,5 V über Masse.

Zurück in der Originalschaltung fließt durch die Diagonale (7 V - 4,5 V) / 50 Ω = 0,05 A vom linken zum rechten Knoten. Die Probe mit der Knotenregel: Durch die 20 Ω fließen (18 V - 7 V) / 20 Ω = 0,55 A in den linken Knoten, davon gehen 0,5 A nach unten und 0,05 A durch die Diagonale. Durch die 30 Ω kommen (18 V - 4,5 V) / 30 Ω = 0,45 A im rechten Knoten an, zusammen mit den 0,05 A aus der Diagonale sind das wieder 0,5 A nach unten. Und 0,55 A + 0,45 A = 1 A.

Statt des oberen Dreiecks hättest du ebenso das untere (14 Ω, 9 Ω, 50 Ω) umwandeln können, oder einen der Sterne – etwa den am linken Knoten aus 20 Ω, 50 Ω und 14 Ω – in ein Dreieck. Das Ergebnis ist dasselbe; wähle die Variante mit den einfacheren Zahlen.

Wo du die Umwandlung brauchst

• Widerstandsnetze mit Brücken oder Gittern, die sich sonst nur mit Gleichungssystemen lösen lassen.
• Filter und Dämpfungsglieder: In der Hochfrequenztechnik heißen Stern und Dreieck T- und π-Glied; mit derselben Umrechnung wechselst du zwischen beiden Bauformen.
• Wechselstrom: Die Formeln gelten unverändert für komplexe Widerstände (Impedanzen), etwa bei Lasten im Drehstromnetz.

Die Umrechnung geht auf den Ingenieur Arthur Edwin Kennelly zurück, der sie 1899 veröffentlichte.

Selbsttest