Kirchhoffsche Regeln

Das Ohmsche Gesetz beschreibt ein einzelnes Bauteil. Sobald mehrere Bauteile zusammenarbeiten, brauchst du Regeln dafür, wie sich Ströme an Abzweigungen aufteilen und wie sich Spannungen in einem Umlauf zusammensetzen. Gustav Robert Kirchhoff hat sie 1845 als Student formuliert – zwei Sätze, die bis heute die Grundlage jeder Schaltungsberechnung und jedes Simulationsprogramms sind.

Die Knotenregel (1. Kirchhoffsches Gesetz)

Ein Knoten ist ein Punkt, an dem sich drei oder mehr Leitungen treffen. Für ihn gilt:

Formal zählst du zufließende Ströme positiv und abfließende negativ; dann ist die Summe null:

Dahinter steckt die Erhaltung der Ladung: In einem Leitungspunkt kann sich keine Ladung ansammeln, und es entsteht keine neue. Was hineinfließt, muss wieder hinaus – wie Wasser an einer Rohrverzweigung.

Die Knotenregel ist der Grund, warum sich in einer Parallelschaltung die Zweigströme zum Gesamtstrom addieren.

Die Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz)

Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf durch eine Schaltung, der zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt. Für sie gilt:

Gleichwertig, und oft anschaulicher: Die Summe der Quellenspannungen in der Masche ist gleich der Summe der Spannungsabfälle an den Widerständen. Sitzen mehrere Quellen in derselben Masche, zählen sie je nach Polung mit Plus oder Minus – zwei gleichsinnig in Reihe geschaltete Batterien addieren sich, gegensinnige subtrahieren sich.

Anschaulich: Gehst du einmal im Kreis und kehrst zum Startpunkt zurück, bist du wieder auf demselben Potential. Alles, was die Quelle an Spannung „hochpumpt“, muss an den Verbrauchern wieder abfallen.

Für die Schaltung im Bild heißt das, im Uhrzeigersinn umlaufen:

Auf ihr beruhen die Reihenschaltung und der Spannungsteiler.

Zählpfeile richtig setzen

Damit die Vorzeichen stimmen, legst du vor dem Rechnen Pfeile fest:

• Strompfeile zeigen in die angenommene Stromrichtung (technisch: von Plus nach Minus außerhalb der Quelle).
• Spannungspfeile zeigen an Verbrauchern in Stromrichtung (Verbraucherzählpfeilsystem), an Quellen vom Plus- zum Minuspol.
• Umlaufrichtung jeder Masche wählst du frei, etwa im Uhrzeigersinn. Spannungen, deren Pfeil in Umlaufrichtung zeigt, zählen positiv, die anderen negativ.

Ein Netzwerk berechnen

Mit beiden Regeln und dem Ohmschen Gesetz lässt sich jede Schaltung aus Widerständen und Quellen lösen. Das Vorgehen:

1. Ströme in allen Zweigen benennen und mit Pfeilen versehen.
2. Für k Knoten k - 1 Knotengleichungen aufstellen (die letzte wäre überflüssig).
3. So viele unabhängige Maschengleichungen ergänzen, bis die Zahl der Gleichungen der Zahl der unbekannten Ströme entspricht.
4. Spannungen an Widerständen durch R · I ersetzen und das Gleichungssystem lösen.

Für solche einfachen Fälle geht es mit Ersatzwiderständen schneller, wie unter Gemischte Schaltungen gezeigt. Bei mehreren Quellen oder Brückenschaltungen führt aber kein Weg an den Kirchhoffschen Gleichungen vorbei. Schaltungssimulatoren lösen intern genau solche Gleichungssysteme – nur mit Tausenden von Knoten.

Selbsttest