Ein Kupferdraht hat einen Widerstand, ein Konstantandraht gleicher Abmessungen einen fast dreißigmal so großen. Ein doppelt so langer Draht hat den doppelten Widerstand, ein doppelt so dicker nur noch die Hälfte. Diese drei Einflüsse – Material, Länge und Querschnitt – fasst eine einzige Formel zusammen. Die Materialkonstante darin heißt spezifischer Widerstand ρ (griechisch rho).
Die Formel für den Leiterwiderstand
Der Widerstand eines Leiters mit gleichmäßigem Querschnitt ist
mit der Leiterlänge l und der Querschnittsfläche A. In der Praxis heißt das: ρ ist der Widerstand eines Drahtes von 1 m Länge und 1 mm² Querschnitt, gemessen bei 20 °C. Er hängt nur vom Material und von der Temperatur ab, nicht von der Form. Wie groß er ausfällt, bestimmen vor allem die Zahl der frei beweglichen Elektronen und wie dicht und geordnet die Atome im Werkstoff sitzen.
Stellst du die Formel um, kannst du aus einem gemessenen Widerstand auf das Material oder die Länge zurückschließen:
Anschaulich: Ein längerer Leiter bedeutet einen längeren Weg, auf dem die Elektronen an Gitteratomen gestreut werden. Ein größerer Querschnitt bietet dagegen mehr parallele Wege – wie viele parallel geschaltete Widerstände.
Einheiten
Die SI-Einheit ist Ω · m. Für Drähte ist eine andere Form praktischer, weil Querschnitte in mm² und Längen in Metern angegeben werden:
In der Halbleitertechnik ist dagegen Ω · cm üblich. Beim Umrechnen hilft dir Einheiten umrechnen.
| Werkstoff | ρ bei 20 °C in Ω·mm²/m | Temperaturbeiwert α in 1/K |
|---|---|---|
| Silber | 0,016 | 0,0038 |
| Kupfer | 0,0178 | 0,0039 |
| Gold | 0,022 | 0,0037 |
| Aluminium | 0,028 | 0,0040 |
| Zinn | 0,11 | 0,0045 |
| Konstantan (CuNi44) | 0,49 | ≈ 0,00001 |
| Manganin | 0,43 | ≈ 0,00001 |
Reines, geglühtes Kupfer hat 0,0172 Ω·mm²/m; in Tabellen für Leitungen steht meist 0,0178, weil technisches Kupfer etwas schlechter leitet. Den Kehrwert, die elektrische Leitfähigkeit, findest du ebenso oft in Datenblättern.
Rechenbeispiele
Das zweite Beispiel zeigt, warum Leiterbahnen für hohe Ströme breit sein müssen: Der Querschnitt einer Bahn ist winzig im Vergleich zu einem Draht. Die Stromdichte wird schnell groß, und mit ihr Erwärmung und Spannungsfall.
Abhängigkeit von der Temperatur
Bei Metallen steigt der spezifische Widerstand mit der Temperatur, weil die Gitteratome stärker schwingen und die Elektronen häufiger streuen. Für nicht zu große Temperaturänderungen gilt
mit dem Widerstand R20 bei 20 °C, dem Temperaturbeiwert α und der Temperaturdifferenz Δϑ gegenüber 20 °C. Für Kupfer bedeutet α ≈ 0,0039 1/K: rund 4 % mehr Widerstand pro 10 K.
Legierungen wie Konstantan und Manganin sind so zusammengesetzt, dass α nahezu null ist. Sie eignen sich deshalb für Präzisions- und Messwiderstände (Shunts). Halbleiter verhalten sich dagegen ganz anders: Ihr spezifischer Widerstand sinkt meist mit steigender Temperatur – mehr dazu unter Temperaturverhalten von Halbleitern.
Selbsttest
Wie ändert sich der Widerstand, wenn du einen Draht auf die doppelte Länge streckst und sein Querschnitt dabei auf die Hälfte sinkt?
Er vervierfacht sich: doppelte Länge und halber Querschnitt wirken beide verdoppelnd.
Warum verwendet man für Messwiderstände Manganin statt Kupfer?
Manganin hat einen nahezu verschwindenden Temperaturbeiwert – der Widerstand bleibt bei Erwärmung konstant.
Wie groß ist der Widerstand von 100 m Kupferdraht mit 0,5 mm² Querschnitt?
R = 0,0178 · 100 / 0,5 ≈ 3,6 Ω.
Eine Ader einer Kabeltrommel (Kupfer, 1,5 mm²) hat 1,2 Ω. Wie lang ist das Kabel?
l = R · A / ρ = 1,2 · 1,5 / 0,0178 ≈ 101 m.