Frequenzgang und Bode-Diagramm

Im Datenblatt eines Operationsverstärkers, eines Lautsprechers oder eines Schaltreglers findest du fast immer ein Diagramm mit einer logarithmischen Frequenzachse und Kurven, die über viele Dekaden abfallen. Das ist ein Bode-Diagramm, benannt nach dem Ingenieur Hendrik Wade Bode. Es zeigt auf einen Blick, wie eine Schaltung mit verschiedenen Frequenzen umgeht: welche sie durchlässt, welche sie dämpft und wie stark sie das Signal dabei verschiebt. Das Schöne daran: Mit ein paar geraden Linien kannst du es für einfache Schaltungen von Hand skizzieren.

Was der Frequenzgang beschreibt

Schickst du einen Sinus mit der Frequenz f in eine lineare Schaltung – einen Filter, einen Verstärker, eine Leitung –, kommt am Ausgang ein Sinus mit derselben Frequenz heraus. Verändert haben sich nur zwei Dinge: die Amplitude und die Phasenlage. Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Frequenz heißt Frequenzgang. In komplexer Schreibweise fasst man beides in einer Größe zusammen:

Der Betrag |H| sagt, wie stark das Signal verstärkt oder gedämpft wird, der Winkel φ, wie weit es verschoben ist. Beide trägt das Bode-Diagramm in zwei übereinanderliegenden Teilen auf, mit derselben Frequenzachse:

• Der Amplitudengang zeigt |H| in Dezibel: |H|_dB = 20 · log₁₀ |H|.
• Der Phasengang zeigt φ in Grad.

Warum logarithmische Achsen

Die Frequenzachse ist logarithmisch geteilt: Der Abstand von 10 Hz nach 100 Hz ist genauso groß wie von 1 kHz nach 10 kHz. Eine solche Verzehnfachung heißt Dekade, eine Verdopplung Oktave. So passen sechs oder mehr Dekaden übersichtlich auf ein Blatt, und jede bekommt gleich viel Platz – bei linearer Teilung wäre alles unter 1 kHz auf einen Strich zusammengedrückt.

Auch die Dezibel-Skala des Amplitudengangs ist logarithmisch. Das hat zwei große Vorteile:

• Ketten werden zu Summen. Schaltest du Stufen hintereinander, multiplizieren sich ihre Verstärkungen. In Dezibel addierst du einfach die Kurven. Ein Verstärker mit +40 dB gefolgt von einem Filter, das an einer Stelle −10 dB hat, ergibt dort +30 dB.
• Potenzgesetze werden zu Geraden. Ein Verlauf, der mit 1 / f abfällt, ist im Bode-Diagramm eine gerade Linie mit −20 dB pro Dekade. Deshalb lassen sich Frequenzgänge so gut mit Geraden annähern.

Zur Orientierung: 0 dB bedeutet Faktor 1, −3 dB rund 0,707, −6 dB rund 0,5, −20 dB genau 0,1 und +40 dB den Faktor 100. Mehr dazu unter Verstärkung und Dämpfung.

Asymptoten: Bode-Diagramme von Hand

Das Bode-Diagramm eines RC-Tiefpasses besteht in guter Näherung aus zwei Geraden, den Asymptoten:

• Unterhalb der Grenzfrequenz f_g liegt der Amplitudengang waagerecht bei 0 dB.
• Oberhalb fällt er mit −20 dB pro Dekade (entspricht etwa −6 dB pro Oktave).

Beide Geraden treffen sich an der Grenzfrequenz, die deshalb auch Eckfrequenz heißt. Die echte Kurve verläuft dort 3 dB unterhalb des Knicks, eine Oktave daneben ist sie rund 1 dB unter den Asymptoten, und weiter weg schmiegt sie sich praktisch an sie an.

Für den Phasengang gibt es eine ähnliche Näherung: 0° bis zu einem Zehntel der Grenzfrequenz, dann eine Gerade mit −45° pro Dekade, die bei f_g durch −45° geht und beim Zehnfachen von f_g die −90° erreicht. Der größte Fehler dieser Näherung liegt bei knapp 6°.

Bei 50 kHz liefert die Asymptote −20 dB · log₁₀(50) ≈ −34 dB – genauer geht es mit dem Taschenrechner auch nicht.

Beim Hochpass ist alles gespiegelt: Unterhalb von f_g steigt der Amplitudengang mit +20 dB pro Dekade, oberhalb liegt er bei 0 dB. Die Phase läuft von +90° auf 0°.

Höhere Ordnungen

Schaltest du zwei entkoppelte Tiefpässe mit gleicher Grenzfrequenz hintereinander, addieren sich ihre Bode-Diagramme: Oberhalb von f_g fällt der Amplitudengang mit −40 dB pro Dekade, an der Eckfrequenz liegt er bei −6 dB, und die Phase dreht bis auf −180°. Jede weitere Stufe – jede „Ordnung“ – bringt zusätzliche 20 dB pro Dekade und 90° Phasendrehung. Liegen die Grenzfrequenzen auseinander, knickt der Amplitudengang an jeder Eckfrequenz um weitere 20 dB pro Dekade ab.

Filter zweiter Ordnung aus Spule und Kondensator können an der Eckfrequenz auch eine Überhöhung zeigen – das ist die Resonanz eines Schwingkreises. Wie hoch der Buckel ausfällt, hängt von der Güte ab.

Bandbreite

Die Bandbreite einer Schaltung ist der Frequenzbereich, in dem der Amplitudengang um nicht mehr als 3 dB unter seinen Höchstwert fällt. Bei einem Tiefpass oder einem Gleichspannungsverstärker reicht sie von 0 bis zur oberen Grenzfrequenz f_o. Bei einem Bandpass, etwa einem Audioverstärker mit Koppelkondensatoren, gibt es eine untere Grenzfrequenz f_u und eine obere f_o:

Verstärkung gegen Bandbreite

Besonders nützlich ist das Bode-Diagramm bei Operationsverstärkern. Ihre Leerlaufverstärkung ist riesig, fällt aber schon ab wenigen Hertz mit −20 dB pro Dekade, bis sie bei der Transitfrequenz 0 dB erreicht. Auf dieser Geraden ist das Produkt aus Verstärkung und Frequenz konstant – das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt (GBW, Gain Bandwidth Product).

Bode-Diagramme messen und nutzen

Messen kannst du einen Frequenzgang punktweise mit Funktionsgenerator und Oszilloskop: Frequenz einstellen, Amplituden und Zeitversatz ablesen, umrechnen, nächste Frequenz. Viele moderne Oszilloskope haben dafür eine eingebaute Bode-Plot-Funktion, die einen Sinus durchstimmt und das Diagramm automatisch zeichnet. Für hohe Frequenzen gibt es Netzwerkanalysatoren.

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