RC- und RL-Glied: Tiefpass und Hochpass

Ein Widerstand und ein Kondensator – mehr braucht es nicht, um aus einem verrauschten Sensorsignal eine ruhige Spannung zu machen, ein PWM-Signal zu glätten oder die Gleichspannung vor einem Verstärkereingang abzutrennen. Diese Kombination heißt RC-Glied. Ersetzt du den Kondensator durch eine Spule, erhältst du ein RL-Glied. Beide sind frequenzabhängige Spannungsteiler und damit die einfachsten Filter der Elektronik: Je nach Anordnung lassen sie tiefe Frequenzen durch und dämpfen hohe (Tiefpass) oder umgekehrt (Hochpass).

Das Prinzip: ein Teiler, der seine Meinung ändert

Ein Widerstand hat bei jeder Frequenz denselben Wert. Der kapazitive Blindwiderstand eines Kondensators sinkt dagegen mit steigender Frequenz, der induktive Blindwiderstand einer Spule steigt. Kombinierst du eines dieser Bauteile mit einem Widerstand zu einem Teiler, verschiebt sich das Teilerverhältnis mit der Frequenz:

• RC-Tiefpass: Widerstand im Längszweig, Kondensator gegen Masse, Ausgang am Kondensator. Bei tiefen Frequenzen ist X_C groß, fast die ganze Spannung liegt am Ausgang. Bei hohen Frequenzen schließt der Kondensator das Signal kurz.
• RC-Hochpass: Kondensator im Längszweig, Widerstand gegen Masse, Ausgang am Widerstand. Gleichspannung kommt gar nicht durch, hohe Frequenzen fast ungehindert.
• RL-Tiefpass: Spule im Längszweig, Widerstand gegen Masse. Die Spule sperrt hohe Frequenzen.
• RL-Hochpass: Widerstand im Längszweig, Spule gegen Masse. Die Spule schließt tiefe Frequenzen kurz.

In der Praxis sind RC-Glieder viel häufiger. Kondensatoren sind klein, billig und fast verlustfrei, während Spulen für niedrige Frequenzen groß, schwer und mit Drahtwiderstand behaftet sind. RL-Glieder findest du vor allem dort, wo ohnehin eine Spule sitzt – etwa in Lautsprecherweichen oder als Drossel in einer Stromversorgung.

Die Grenzfrequenz

Irgendwo zwischen „lässt durch“ und „sperrt“ liegt ein Übergang. Als Kennwert hat man die Frequenz festgelegt, bei der Blindwiderstand und Wirkwiderstand gleich groß sind. Das ist die Grenzfrequenz f_g. Aus X_C = R beziehungsweise X_L = R folgt:

Bei der Grenzfrequenz passiert dreierlei:

• Die Ausgangsspannung ist auf 1/√2 ≈ 70,7 % der Eingangsspannung gesunken. In Dezibel sind das −3 dB. Weil die Leistung mit dem Quadrat der Spannung geht, kommt nur noch die halbe Leistung an.
• Die Spannungen an Widerstand und Blindwiderstand sind gleich groß. Sie addieren sich aber nicht zu 2 × 70,7 %, sondern geometrisch wie im Zeigerdiagramm – genau zu 100 %.
• Ausgangs- und Eingangsspannung sind um 45° gegeneinander verschoben. Beim Tiefpass eilt der Ausgang nach (−45°), beim Hochpass eilt er vor (+45°).

Für beliebige Frequenzen gilt beim Tiefpass erster Ordnung:

Beim Hochpass steht im Zähler zusätzlich f / f_g, und die Phase ist um 90° nach oben verschoben: Sie wandert von +90° bei sehr tiefen Frequenzen auf 0° bei sehr hohen.

Steilheit: 20 dB pro Dekade

Weit oberhalb der Grenzfrequenz halbiert sich die Ausgangsspannung eines Tiefpasses mit jeder Verdopplung der Frequenz und sinkt mit jeder Verzehnfachung auf ein Zehntel. Man sagt: Die Dämpfung steigt um 20 dB pro Dekade oder rund 6 dB pro Oktave. Beim Hochpass gilt dasselbe spiegelbildlich unterhalb der Grenzfrequenz.

Das ist nicht besonders steil. Ein Störsignal, das nur doppelt so hoch liegt wie die Grenzfrequenz, wird lediglich um 7 dB gedämpft. Wer schärfer trennen muss, schaltet mehrere Stufen hintereinander (zweite Ordnung: 40 dB pro Dekade) oder greift zu aktiven Filtern mit Operationsverstärker. Den Verlauf über viele Dekaden stellt man übersichtlich im Bode-Diagramm dar.

Zeitkonstante und Sprungantwort

Dasselbe Bauteilpaar lässt sich auch im Zeitbereich beschreiben. Legst du an einen RC-Tiefpass schlagartig eine Gleichspannung, lädt sich der Kondensator über den Widerstand auf – nicht sofort, sondern nach einer e-Funktion, wie beim Kondensator im Gleichstromkreis. Maßgeblich ist die Zeitkonstante:

Nach einer Zeitkonstante hat der Ausgang 63 % des Endwerts erreicht, nach 5 τ gut 99 %. Der Hochpass liefert das Gegenstück: Sein Ausgang springt mit der Flanke voll mit und klingt dann mit derselben Zeitkonstante auf null ab.

Zeit- und Frequenzbereich hängen eng zusammen. Die Anstiegszeit von 10 % auf 90 % beträgt beim RC-Tiefpass rund 2,2 τ oder 0,35 / f_g. Ein Filter mit 1,54 kHz Grenzfrequenz braucht also etwa 230 µs, um einer Flanke zu folgen. Wenn du ein Rechtecksignal durch einen Tiefpass schickst, siehst du auf dem Oszilloskop genau diese abgerundeten Flanken.

Typische Anwendungen

• Störungen und Rauschen filtern: Ein RC-Tiefpass vor dem ADC-Eingang eines Mikrocontrollers hält hochfrequente Störungen fern. Beim Abtasten soll die Grenzfrequenz unter der halben Abtastrate liegen (Anti-Aliasing).
• PWM glätten: Aus einem PWM-Signal mit 20 kHz macht ein Tiefpass mit einigen hundert Hertz Grenzfrequenz eine nahezu glatte Gleichspannung – ein einfacher Digital-Analog-Wandler.
• Gleichspannung abtrennen: Ein Koppelkondensator vor einem Verstärkereingang bildet mit dessen Eingangswiderstand einen Hochpass. Mit 1 µF und 10 kΩ liegt f_g bei 15,9 Hz – Audiosignale kommen durch, der Gleichspannungsanteil nicht.
• Lautsprecherweichen: Eine Spule vor dem Tieftöner und ein Kondensator vor dem Hochtöner verteilen die Frequenzen. Hier ist der Lautsprecher selbst der Widerstand.
• Verzögern und Differenzieren: Mit der Zeitkonstante lassen sich Reset-Impulse verzögern; ein Hochpass mit kleiner Zeitkonstante macht aus Flanken kurze Nadelimpulse.

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