Wie schnell sich eine Wechselgröße wiederholt, beschreiben drei eng verwandte Größen: die Periodendauer T, die Frequenz f und die Kreisfrequenz ω. Die ersten beiden kennst du aus dem Alltag, die dritte begegnet dir in fast jeder Formel für Kondensatoren und Spulen. Wer verstanden hat, woher das 2π kommt, kann Blindwiderstände und Phasenlagen viel leichter einordnen.
Periodendauer und Frequenz
Die Periodendauer T ist die Zeit, nach der sich der Verlauf genau wiederholt – etwa von einem positiven Nulldurchgang zum nächsten. Die Frequenz f gibt an, wie viele Perioden pro Sekunde ablaufen. Beide sind Kehrwerte voneinander:
Die Einheit der Frequenz ist das Hertz (Hz), benannt nach Heinrich Hertz: 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde = 1/s.
| Anwendung | Frequenz | Periodendauer |
|---|---|---|
| Stromnetz Europa | 50 Hz | 20 ms |
| Kammerton a' | 440 Hz | 2,27 ms |
| Mittelwellenrundfunk | 1 MHz | 1 µs |
| Mikrocontroller-Takt | 16 MHz | 62,5 ns |
| WLAN | 2,4 GHz | 0,42 ns |
Mit den Einheitenvorsätzen wird das Umrechnen einfach: Kilohertz gehört zu Millisekunden, Megahertz zu Mikrosekunden, Gigahertz zu Nanosekunden.
Die Kreisfrequenz ω
Ein Sinus entsteht, wenn ein Zeiger gleichmäßig auf einem Kreis umläuft und du seine Höhe über der Zeit aufträgst. Eine volle Umdrehung entspricht einer Periode – und im Bogenmaß dem Winkel 2π. Wie schnell sich der Winkel ändert, gibt die Kreisfrequenz an:
Das Bogenmaß misst einen Winkel als Länge des zugehörigen Bogens auf einem Kreis mit Radius 1 – deshalb hat der Vollkreis den Wert 2π. Die Einheit der Kreisfrequenz ist 1/s (oft rad/s geschrieben). Das Hertz verwendet man nur für f, damit klar bleibt, ob Umdrehungen oder Bogenmaß gemeint sind. Damit lautet der Sinusverlauf:
Das Argument ω · t ist der momentane Winkel des Zeigers. Nach der Zeit T ist er bei 2π angekommen – eine Periode ist vorbei.
Die Kreisfrequenz steckt in den Blindwiderständen: XL = ω · L bei der Spule und XC = 1 / (ω · C) beim Kondensator. Wer sie mit f verwechselt, liegt um den Faktor 6,28 daneben – einer der häufigsten Rechenfehler überhaupt. Mehr dazu unter induktiver Blindwiderstand.
Auch bei Filtern rechnest du mit ω: Ein RC-Tief- oder -Hochpass hat seine Grenzfrequenz dort, wo XC = R ist. In Kreisfrequenz ist das besonders kurz:
Phasenverschiebung
Zwei Sinusgrößen gleicher Frequenz müssen nicht gleichzeitig durch null gehen. Den zeitlichen Versatz Δt rechnest du in einen Winkel um, den Phasenverschiebungswinkel φ:
Allgemein schreibt man dann u(t) = Û · sin(ω · t + φu). Eine Viertelperiode Versatz entspricht 90°, eine halbe Periode 180° – dann sind die Kurven genau gegenläufig.
Phasenverschiebungen sind der Kern der Wechselstromtechnik: Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90° voraus, an der Spule läuft er 90° hinterher, und daraus entsteht Blindleistung.
Wellenlänge
Breitet sich ein Signal auf einer Leitung oder als elektromagnetische Welle aus, legt es während einer Periode eine bestimmte Strecke zurück, die Wellenlänge:
Im Vakuum ist c ≈ 300 000 km/s. Bei 50 Hz ergeben sich 6000 km, bei 100 MHz nur noch 3 m. Auf Leiterplatten ist die Ausbreitung langsamer, grob halb so schnell. Sobald eine Leitung nicht mehr viel kürzer als die Wellenlänge ist – Faustregel ab etwa einem Zehntel –, musst du sie als Leitung mit Wellenwiderstand betrachten, sonst drohen Reflexionen.
Selbsttest
Wie lang ist die Periode eines 2-kHz-Signals?
T = 1 / 2000 Hz = 0,5 ms.
Wie groß ist die Kreisfrequenz bei 60 Hz?
ω = 2π · 60 Hz ≈ 377 1/s.
Zwei 50-Hz-Spannungen sind um 5 ms verschoben. Wie groß ist der Phasenwinkel?
φ = 360° · 5 ms / 20 ms = 90°.